［摘要］Pushover分析方法作為一種結構非線性地震響應的近似計算方法，以其概念簡明、操作簡便、用圖形方式直觀地表達結構的抗震能力與需求等特點，正逐漸受到重視和推廣。Pushover分析方法多用于建筑結構，且具體實施方法和結果的表達方式也有所不同。本文針對考慮樁士相互作用的鋼筋混凝土橋墩，歸納與總結了Pushover分析方法的實施步驟及原理，通過實例計算，分析了不同荷載模式、不同上彈簧剛度及土層相對位移的影響，并用非線性時程分析加以驗證。
關鍵詞 Pushover分析 樁土相互作用 土彈簧
一、引言
Pushover分析方法與地震反應譜相結合，成為一種結構非線地震．響應的簡化計算方法，能夠計算出結構從線彈性、屈服一直到極限倒塌狀態的內力、變形、塑性鉸位置和轉角，找出結構的薄弱部位，甚至能夠得出比非線性時程分析更多的重要信息。通過Pushover分析，可以確定結構所能承受的地震烈度及在地震作用下能否達到抗震性能標準，從而判斷橋梁是否需要進行加固及加固的先后順序。這種方法主要用于進行地震作用下的變形驗算，尤其是大震作用下的抗倒塌驗算。
早在70年代初，Freeman就首次提出了Pushover方法，并將其與地震反應譜相結合，稱之為能力譜方法，后為Tri Service兩水準抗震設計規程所采用，在美國 ATC一33、ATC-40規范中也引入了能力譜方法。近年來，有關Pushover分析方法的應用和研究仍在逐漸深入，V.Kilar[6]利用偽三維教學律型講行了非對稱建筑結構的Pushover分析，K.Sasaki[3]考慮了高階模態的影響，P．Fajfar[7]在該方法的基礎上發展了N2方法。A.Ghobarah[5]提出利用兩次Pushover分析結果來計算結構的損傷指數。該方法近年來引入我國后，正逐漸得到推廣和應用。
二、分析步驟
Pushover分析方法多用于剪切型或框架型建筑結構，且具體實施方法有所不同。利用Pushover方法進行橋墩地震響應分析的實施步驟及原理，本文總結如下：
·第1步：數據準備
建立橋墩樁上相互作用計算模型所需的參數，包括幾何尺寸腐面特性、土彈簧剛度，對于采用非線性梁單元的墩柱和樁應求出截面的彎矩一軸力相互作用曲線，也即屈服面。此外還需要一條彈性加速度位移反應譜。
·第2步：確定側向荷載分布模式
Pushover分析的關鍵之一就是選擇適當的側向推力分布模式，結構在這些側向力的作用下逐步達到目標位移或倒塌狀態。側向推力分布模式與地震作用下結構產生的慣性荷載密切相關。顯然側向推力分布的相對值是隨結構單元的屈服范圍而改變的，因此只能近似地假定側向推力分布系數為一常數。對于多層建筑結構，通常假定測向推力分布模式與結構的一階振型相似。隨著樓層的增高,高階振型的影響是不能忽視的，并且基本振型也不是直線形分布而是非線性分布的。
由于橋墩在地震作用下，樁與上相互作用，土層之間發生的相對位移可對橋墩受力產生不可忽略的影響。為尋找適合于橋墩樁上相互作用計算模型的側向推力分布模式，本文采用了測向推力和側向推力加上層相對位移兩種情況四種模式加以分析比較。
（l）側向推力
模式A：
其中，Fi為在第i節點施加的推力；n為節點總數；φmi，φmj是第m階正規化振型i，j節點的振幅；Wi，Wj為i，j節點的重力荷載；Vb為基底剪力。
模式B：
其中，hi，hj為節點i，j距基底的高度；指數及規定為：
模式C：
由于上部結構重量集中于墩頂，且其重量通常占橋墩承臺以上總重的 70 ％以上，若按單質點體系考慮，則側向推力可直接施加在墩頂：
Fl=Vb （4）
（2）側向推力加上層相對位移
模式D：
由上層等效線性地震反應分析程序SHAKE，可求得在一定地震水平下各上層對樁底上層的相對位移，將此相對位移施加在各節點上。
·第3步：求出結構在恒載作用下的內力和自振周期。
·第4步：在側向商載作用下，進行逐步線彈性計算
其分步原則是：將總側向荷載乘上一個荷載分配系數得到該步的分簡載，在分荷載作用下，能夠使一個節點或一批節點形成塑性鉸，計算出各單元的內力和位移，改變形成塑性鉸處的單元剛度。開始下一步計算時，用的是上一步修正后的剛度，計算結束后將結果與上一步的結果相疊加。最后一步的荷載分配系數為1。
·第5步：將第3步計算成果進行整理，得到墩底剪力一墩頂位移關系圖。
·第6步：換算為一個等效單自由度體系
使用反應譜來確定地震反應，需要考慮非線性特性，因此，原則上要求一個單自由度體系。假定橋墩的變形形狀Φ為常量，且在遭受基底運動時不改變其形狀。位移向量U可定義為：
U＝ΦDt （5）
式中，Dt為特征點的橫向位移，Φ為墩頂幅值為1的正規化振型。
由多自由度體系的振動方程和側向荷載分布模式的假定，經過變換就可得到等效單自由度體系的振動方程：
常數c將多自由度體系轉為單自由度體系。這里使用同樣的常數來進行力和位移的轉換，因而等效單自由度的初始剛度等于多自由度體系的初始剛度。這種特性也正是假定測向荷載分布模式的原因(公式(1))。
基于上述多自由度體系與等效單自由度體系的變換關系，就可將墩底剪力Vb-墩頂位移 Dt關系曲線轉換為加速度SA一位移 SD關系曲線：
式中，Wi是施加在各節點的重力荷載。
多自由度體系的力-位移關系是多線形的，而等效單自由度體系是雙線形的力-位移關系。有多種方法來進行雙線形近似，本文利用多線形曲線和雙線形曲線下的面積相等來近似。
·第7步：確定橋墩的地震響應
將上一步得到的加速度SA-位移SD關系曲線，與相應地震波的彈性加速度-位移反應譜（ADRS）（Mahaney，1993）繪在同一張圖中。這里將Pushover分析得到的曲線稱為能力曲線，而將反應譜稱為需求曲線（Freeman，1975），能力曲線與需求曲線的交點即為相應地震水平下的位移反應。
由彈性加速度位移反應譜只能得到相應的彈性位移，而結構在地震作用下通常都已進人非線性狀態，要得到非彈性反應譜，比較簡便的方法是使用折減系數Rμ（Vidi。，1994）：
式中，μ是延性系數，即位移D與屈服位移Dy的比值，Fy是屈服力，De，Fe分別為彈性位移和彈性力。
對于理想彈塑性單自由度體系，Rμ可定義為
式中，T為單自由度體系的自振周期，Tc是場地的卓越周期。顯然，將公式（15）得到的折減系數Rμ應用于彈性反應譜，不僅是屈服力要折減（公式（13）），而且位移也要折減（公式（14））以得到彈塑性位移。對于短周期結構，彈塑性位移比彈性位移大，而對于長周期結構（除特長周期外），完全可以假定彈塑性位移等于彈性位移。
三、計算實例
計算對象為日本神戶一座三跨連續梁橋的單往武鋼筋混凝土橋墩【9】，見圖1所示，墩柱高度12.4m，直徑1.8m；承臺下布置6根樁基礎，直徑1.0m；上部結構反力為3050kN。該橋墩在1995年日本阪神地震中遭到了嚴重的破壞，破壞形態為：墩柱中部和底部生產彎曲破壞，樁基礎上部和中部有多處開裂。
1．計算資料
（1）材料特性：墩柱與樁基的混凝土抗壓強度σck=27N／平方毫米，彈性模量Ec=26500N／平方毫米，比重γ=2.5t/立方米，泊松比μ=0.167。墩柱上部豎向鋼筋采用單層40φ32，底部采用雙層40φ32鋼筋，箍筋均采用φ16；樁基礎豎向鋼筋采用20φ25鋼筋，箍筋為φ13；鋼筋的屈服強度σcy=356N／平方毫米，彈性模量Es=206000 N／平方毫米。
（2）土彈簧剛度與土層相對位移：為模擬樁與土之間的相互作用，將土對樁的作用等效為土彈簧。土彈簧剛度分別采用"M法"和專用程序SHAKE來確定，SHAKE能同時計算出土層的相對位移【10】，結果見表1所示。
（3）加速度位移反應譜：JMA波（1995年日本神戶海洋氣象臺記錄波NS成分）的反應譜見圖3中的需求曲線，臨界阻尼采用5％。
2．計算模型的建立
計算模型采用二維梁單元模型，考慮棧橋向的反應，其中，墩頂擴大部和承臺采用線性梁單元模擬，墩柱及樁基采用非線性單元，樁單元劃分長度與上層深度相同。上彈簧采用二力桿模擬，共分別個單元。計算模型見圖2所示。
四、計算分析與結果比較
采用Pllshover專用計算程序自動完成分析步驟的第3步。為進行結果的分析比較，非線性時程分析采用CANNY程序計算。
1．地震峰值響應的確定一
采用M法土彈簧剛度，橋墩自振周期T1＝0.945，T2=0.018.由于一階振型的振型參與系數為1.051，而二階振型的振型參與系數僅為0.084，因此對于側向推力模式A只考慮一階振型。將Pushover計算得到的墩底剪力-墩頂關系曲線按照公式（11）和（12）換算為SA-SD的形式，見圖3中的能力曲線。圖中虛線與需求曲線的交點，即為彈性反應值。根據公式（l3）～（16）進行非彈性休整。由于T≥T0，非彈性位移反應值等于彈性位移反應值，點劃線與能力曲線的交點所對應的縱坐標即可換算為相應的非彈性剪力。將上述結果列入表2，同時與非線性時程反應分析結果相比較。
從表2中可以看出，Pushover分析得到的墩頂位移和墩底剪力與時程分析的結果吻合較好。
2．不同側向推力模式的影響
當墩底剪力相同時（Vb＝1650），采用三種測向推力模式分別計算列入表 3。三種測向推力模式得出的結果較為接近．采用模式A得出的屈服位移和屈服剪力最小，相應地震的墩頂位移反應與時程分析結果最為接近，但由于橋墩重量主要集中于墩頂，為簡化計算，完全可以采用模式C。
3．不同土彈簧剛度和土層相對位移的影響
針對樁上相互作用計算模型的特點，采用側向推力加上層相對位移的荷載模式，分別計算在JMA地震波作用下，PGA＝0.2g和PGA＝03g兩種工況。各種工況的墩頂位移一墩底剪力關系見圖4所示。僅土彈簧剛度的改變對墩柱的位移和剪力的影響很小，也即對地面以上結構的影響很小，墩往最先屈服，且達到最大位移時，樁基仍處于線彈性狀態。對樁基施加土層相對位移后，樁預先于墩柱屈服，墩柱的屈服位移增大，有效剛度減小，其地震反應相應增大，且上層相對位移越大，反應越大。從上述分析可見，土層相對位移對樁基破壞起了決定性的作用。
五、結論
（1）采用本文總結的鋼筋混凝土橋墩非線性Pushover分析方法進行實例計算，確定出結構的能力曲線后，借助于加速度一位移譜（ADRS），可迅速得到結構彈塑性地震響應的峰值。
（2）采用三種測向推力模式分別計算，模式A與時程分析結果最為接近，但由于橋墩重量主要集中于墩頂，為簡化計算，完全可以采用模式C.
（3）對于樁上相互作用計算模型，僅土彈簧剛度的改變對地面以上結構影響很小。對樁基施加工層相對位移，樁頂先于墩柱屈服，墩柱的屈服位移增大，有效剛度減小，其地震反應相應增大，樁基破壞主要由于土層相對位移引起。
謝辭：感謝王君杰老師對本文提供的幫助以及劉東同志提供的土彈簧剛度資料。
參考文獻
［1］葉燎原，潘文．結構靜力彈塑性分析（push-over）的原理和計算實例。建筑結構學報，2000，（1）
[2]楊溥，李英民等．結構靜力彈塑性分析（Push-over）方法的改進．建筑結構學報，2000，（1）
[3] Kent K. Sasaki, Sigmund A.Freeman. Multi- Mode Pushover Procedure (MMP) - a Method to Identify the Effects of Higher Modes in a Pushover Analysis. 6th U. S. National Conference on Earthquake Engineering.
[4] A. S. Moghadam, M. Eeri. Pushover Analysis for Asymmetrical Multistorey Buildings. 6th U. S. National Conference on Earthquake Engineering.
[5] Ghobarah A, Abou - Elfath H and Biddah a. Response - based damage assessment of strutures. Earthquake Engng. Struct. Dyn. 28, 1999,79 ~ 104.
[6] Kilar V and Fajfaar P.Simple push-- over analysis of asymmetric buildings. Earthquake Engng. Struct. Dyn. 26, 1997,233 ~ 249
[7] P. Fajfar, P. Gaspersic. A Simplified Nonlinear method for Seismic Evaluation of RC Bridge. 6th U. S. National conference on Earthquake Engineering.
［8」孫利民，后藤洋三．樁基礎橋墩的非線性地震反應分析（日文）．第25屆日本地震工學研究發表會論文集，P873- 840， 1999.7
關鍵詞 Pushover分析 樁土相互作用 土彈簧
一、引言
Pushover分析方法與地震反應譜相結合，成為一種結構非線地震．響應的簡化計算方法，能夠計算出結構從線彈性、屈服一直到極限倒塌狀態的內力、變形、塑性鉸位置和轉角，找出結構的薄弱部位，甚至能夠得出比非線性時程分析更多的重要信息。通過Pushover分析，可以確定結構所能承受的地震烈度及在地震作用下能否達到抗震性能標準，從而判斷橋梁是否需要進行加固及加固的先后順序。這種方法主要用于進行地震作用下的變形驗算，尤其是大震作用下的抗倒塌驗算。
早在70年代初，Freeman就首次提出了Pushover方法，并將其與地震反應譜相結合，稱之為能力譜方法，后為Tri Service兩水準抗震設計規程所采用，在美國 ATC一33、ATC-40規范中也引入了能力譜方法。近年來，有關Pushover分析方法的應用和研究仍在逐漸深入，V.Kilar[6]利用偽三維教學律型講行了非對稱建筑結構的Pushover分析，K.Sasaki[3]考慮了高階模態的影響，P．Fajfar[7]在該方法的基礎上發展了N2方法。A.Ghobarah[5]提出利用兩次Pushover分析結果來計算結構的損傷指數。該方法近年來引入我國后，正逐漸得到推廣和應用。
二、分析步驟
Pushover分析方法多用于剪切型或框架型建筑結構，且具體實施方法有所不同。利用Pushover方法進行橋墩地震響應分析的實施步驟及原理，本文總結如下：
·第1步：數據準備
建立橋墩樁上相互作用計算模型所需的參數，包括幾何尺寸腐面特性、土彈簧剛度，對于采用非線性梁單元的墩柱和樁應求出截面的彎矩一軸力相互作用曲線，也即屈服面。此外還需要一條彈性加速度位移反應譜。
·第2步：確定側向荷載分布模式
Pushover分析的關鍵之一就是選擇適當的側向推力分布模式，結構在這些側向力的作用下逐步達到目標位移或倒塌狀態。側向推力分布模式與地震作用下結構產生的慣性荷載密切相關。顯然側向推力分布的相對值是隨結構單元的屈服范圍而改變的，因此只能近似地假定側向推力分布系數為一常數。對于多層建筑結構，通常假定測向推力分布模式與結構的一階振型相似。隨著樓層的增高,高階振型的影響是不能忽視的，并且基本振型也不是直線形分布而是非線性分布的。
由于橋墩在地震作用下，樁與上相互作用，土層之間發生的相對位移可對橋墩受力產生不可忽略的影響。為尋找適合于橋墩樁上相互作用計算模型的側向推力分布模式，本文采用了測向推力和側向推力加上層相對位移兩種情況四種模式加以分析比較。
（l）側向推力
模式A：
其中，Fi為在第i節點施加的推力；n為節點總數；φmi，φmj是第m階正規化振型i，j節點的振幅；Wi，Wj為i，j節點的重力荷載；Vb為基底剪力。
模式B：
其中，hi，hj為節點i，j距基底的高度；指數及規定為：
模式C：
由于上部結構重量集中于墩頂，且其重量通常占橋墩承臺以上總重的 70 ％以上，若按單質點體系考慮，則側向推力可直接施加在墩頂：
Fl=Vb （4）
（2）側向推力加上層相對位移
模式D：
由上層等效線性地震反應分析程序SHAKE，可求得在一定地震水平下各上層對樁底上層的相對位移，將此相對位移施加在各節點上。
·第3步：求出結構在恒載作用下的內力和自振周期。
·第4步：在側向商載作用下，進行逐步線彈性計算
其分步原則是：將總側向荷載乘上一個荷載分配系數得到該步的分簡載，在分荷載作用下，能夠使一個節點或一批節點形成塑性鉸，計算出各單元的內力和位移，改變形成塑性鉸處的單元剛度。開始下一步計算時，用的是上一步修正后的剛度，計算結束后將結果與上一步的結果相疊加。最后一步的荷載分配系數為1。
·第5步：將第3步計算成果進行整理，得到墩底剪力一墩頂位移關系圖。
·第6步：換算為一個等效單自由度體系
使用反應譜來確定地震反應，需要考慮非線性特性，因此，原則上要求一個單自由度體系。假定橋墩的變形形狀Φ為常量，且在遭受基底運動時不改變其形狀。位移向量U可定義為：
U＝ΦDt （5）
式中，Dt為特征點的橫向位移，Φ為墩頂幅值為1的正規化振型。
由多自由度體系的振動方程和側向荷載分布模式的假定，經過變換就可得到等效單自由度體系的振動方程：
常數c將多自由度體系轉為單自由度體系。這里使用同樣的常數來進行力和位移的轉換，因而等效單自由度的初始剛度等于多自由度體系的初始剛度。這種特性也正是假定測向荷載分布模式的原因(公式(1))。
基于上述多自由度體系與等效單自由度體系的變換關系，就可將墩底剪力Vb-墩頂位移 Dt關系曲線轉換為加速度SA一位移 SD關系曲線：
式中，Wi是施加在各節點的重力荷載。
多自由度體系的力-位移關系是多線形的，而等效單自由度體系是雙線形的力-位移關系。有多種方法來進行雙線形近似，本文利用多線形曲線和雙線形曲線下的面積相等來近似。
·第7步：確定橋墩的地震響應
將上一步得到的加速度SA-位移SD關系曲線，與相應地震波的彈性加速度-位移反應譜（ADRS）（Mahaney，1993）繪在同一張圖中。這里將Pushover分析得到的曲線稱為能力曲線，而將反應譜稱為需求曲線（Freeman，1975），能力曲線與需求曲線的交點即為相應地震水平下的位移反應。
由彈性加速度位移反應譜只能得到相應的彈性位移，而結構在地震作用下通常都已進人非線性狀態，要得到非彈性反應譜，比較簡便的方法是使用折減系數Rμ（Vidi。，1994）：
式中，μ是延性系數，即位移D與屈服位移Dy的比值，Fy是屈服力，De，Fe分別為彈性位移和彈性力。
對于理想彈塑性單自由度體系，Rμ可定義為
式中，T為單自由度體系的自振周期，Tc是場地的卓越周期。顯然，將公式（15）得到的折減系數Rμ應用于彈性反應譜，不僅是屈服力要折減（公式（13）），而且位移也要折減（公式（14））以得到彈塑性位移。對于短周期結構，彈塑性位移比彈性位移大，而對于長周期結構（除特長周期外），完全可以假定彈塑性位移等于彈性位移。
三、計算實例
計算對象為日本神戶一座三跨連續梁橋的單往武鋼筋混凝土橋墩【9】，見圖1所示，墩柱高度12.4m，直徑1.8m；承臺下布置6根樁基礎，直徑1.0m；上部結構反力為3050kN。該橋墩在1995年日本阪神地震中遭到了嚴重的破壞，破壞形態為：墩柱中部和底部生產彎曲破壞，樁基礎上部和中部有多處開裂。
1．計算資料
（1）材料特性：墩柱與樁基的混凝土抗壓強度σck=27N／平方毫米，彈性模量Ec=26500N／平方毫米，比重γ=2.5t/立方米，泊松比μ=0.167。墩柱上部豎向鋼筋采用單層40φ32，底部采用雙層40φ32鋼筋，箍筋均采用φ16；樁基礎豎向鋼筋采用20φ25鋼筋，箍筋為φ13；鋼筋的屈服強度σcy=356N／平方毫米，彈性模量Es=206000 N／平方毫米。
（2）土彈簧剛度與土層相對位移：為模擬樁與土之間的相互作用，將土對樁的作用等效為土彈簧。土彈簧剛度分別采用"M法"和專用程序SHAKE來確定，SHAKE能同時計算出土層的相對位移【10】，結果見表1所示。
（3）加速度位移反應譜：JMA波（1995年日本神戶海洋氣象臺記錄波NS成分）的反應譜見圖3中的需求曲線，臨界阻尼采用5％。
2．計算模型的建立
計算模型采用二維梁單元模型，考慮棧橋向的反應，其中，墩頂擴大部和承臺采用線性梁單元模擬，墩柱及樁基采用非線性單元，樁單元劃分長度與上層深度相同。上彈簧采用二力桿模擬，共分別個單元。計算模型見圖2所示。
四、計算分析與結果比較
采用Pllshover專用計算程序自動完成分析步驟的第3步。為進行結果的分析比較，非線性時程分析采用CANNY程序計算。
1．地震峰值響應的確定一
采用M法土彈簧剛度，橋墩自振周期T1＝0.945，T2=0.018.由于一階振型的振型參與系數為1.051，而二階振型的振型參與系數僅為0.084，因此對于側向推力模式A只考慮一階振型。將Pushover計算得到的墩底剪力-墩頂關系曲線按照公式（11）和（12）換算為SA-SD的形式，見圖3中的能力曲線。圖中虛線與需求曲線的交點，即為彈性反應值。根據公式（l3）～（16）進行非彈性休整。由于T≥T0，非彈性位移反應值等于彈性位移反應值，點劃線與能力曲線的交點所對應的縱坐標即可換算為相應的非彈性剪力。將上述結果列入表2，同時與非線性時程反應分析結果相比較。
從表2中可以看出，Pushover分析得到的墩頂位移和墩底剪力與時程分析的結果吻合較好。
2．不同側向推力模式的影響
當墩底剪力相同時（Vb＝1650），采用三種測向推力模式分別計算列入表 3。三種測向推力模式得出的結果較為接近．采用模式A得出的屈服位移和屈服剪力最小，相應地震的墩頂位移反應與時程分析結果最為接近，但由于橋墩重量主要集中于墩頂，為簡化計算，完全可以采用模式C。
3．不同土彈簧剛度和土層相對位移的影響
針對樁上相互作用計算模型的特點，采用側向推力加上層相對位移的荷載模式，分別計算在JMA地震波作用下，PGA＝0.2g和PGA＝03g兩種工況。各種工況的墩頂位移一墩底剪力關系見圖4所示。僅土彈簧剛度的改變對墩柱的位移和剪力的影響很小，也即對地面以上結構的影響很小，墩往最先屈服，且達到最大位移時，樁基仍處于線彈性狀態。對樁基施加土層相對位移后，樁預先于墩柱屈服，墩柱的屈服位移增大，有效剛度減小，其地震反應相應增大，且上層相對位移越大，反應越大。從上述分析可見，土層相對位移對樁基破壞起了決定性的作用。
五、結論
（1）采用本文總結的鋼筋混凝土橋墩非線性Pushover分析方法進行實例計算，確定出結構的能力曲線后，借助于加速度一位移譜（ADRS），可迅速得到結構彈塑性地震響應的峰值。
（2）采用三種測向推力模式分別計算，模式A與時程分析結果最為接近，但由于橋墩重量主要集中于墩頂，為簡化計算，完全可以采用模式C.
（3）對于樁上相互作用計算模型，僅土彈簧剛度的改變對地面以上結構影響很小。對樁基施加工層相對位移，樁頂先于墩柱屈服，墩柱的屈服位移增大，有效剛度減小，其地震反應相應增大，樁基破壞主要由于土層相對位移引起。
謝辭：感謝王君杰老師對本文提供的幫助以及劉東同志提供的土彈簧剛度資料。
參考文獻
［1］葉燎原，潘文．結構靜力彈塑性分析（push-over）的原理和計算實例。建筑結構學報，2000，（1）
[2]楊溥，李英民等．結構靜力彈塑性分析（Push-over）方法的改進．建筑結構學報，2000，（1）
[3] Kent K. Sasaki, Sigmund A.Freeman. Multi- Mode Pushover Procedure (MMP) - a Method to Identify the Effects of Higher Modes in a Pushover Analysis. 6th U. S. National Conference on Earthquake Engineering.
[4] A. S. Moghadam, M. Eeri. Pushover Analysis for Asymmetrical Multistorey Buildings. 6th U. S. National Conference on Earthquake Engineering.
[5] Ghobarah A, Abou - Elfath H and Biddah a. Response - based damage assessment of strutures. Earthquake Engng. Struct. Dyn. 28, 1999,79 ~ 104.
[6] Kilar V and Fajfaar P.Simple push-- over analysis of asymmetric buildings. Earthquake Engng. Struct. Dyn. 26, 1997,233 ~ 249
[7] P. Fajfar, P. Gaspersic. A Simplified Nonlinear method for Seismic Evaluation of RC Bridge. 6th U. S. National conference on Earthquake Engineering.
［8」孫利民，后藤洋三．樁基礎橋墩的非線性地震反應分析（日文）．第25屆日本地震工學研究發表會論文集，P873- 840， 1999.7
