一.引言．
現(xiàn)代大跨度橋梁等工程結(jié)構(gòu)的柔性特征已十分明顯，對(duì)于這些結(jié)構(gòu)考慮幾何非線性的影響己必不可少。并且，計(jì)算機(jī)能力的大大提高也使得分析大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的非線性問(wèn)題成為可行。80年代國(guó)外對(duì)幾何非線性問(wèn)題的發(fā)展已相當(dāng)完善［1，2］，國(guó)內(nèi)在這方面也做了不少的工作［4－6］
在工程結(jié)構(gòu)幾何非線性分析中，按照參考構(gòu)形的不同可分為TL（Total
Lagranrian)法和UL（Updated Lagrangian)法[1]。后來(lái)，引入隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系后又分別得出 CR（Co-rotational)-TL法和CR－LU法[2,3]，在工程中UL（或CR-UL）法應(yīng)用較多。以前的文獻(xiàn)大都對(duì)結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣進(jìn)行了復(fù)雜而詳細(xì)的推導(dǎo)。從文中的分析可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣的精確與否并不實(shí)質(zhì)性地影響迭代收斂的最終結(jié)果，求解幾何非線性問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何由節(jié)點(diǎn)位移增量準(zhǔn)確地計(jì)算出單元的內(nèi)力增量，而這一點(diǎn)以前文獻(xiàn)都沒(méi)有提到過(guò)。因此，本文的重點(diǎn)放在論述單元內(nèi)力增量的計(jì)算上。
工程上很早就開(kāi)始使用拖動(dòng)坐標(biāo)系來(lái)求解大跨度橋梁結(jié)構(gòu)的大撓度問(wèn)題，本文則把它應(yīng)用到單元內(nèi)力增量的計(jì)算中。從實(shí)質(zhì)上說(shuō)，這里的拖動(dòng)坐標(biāo)系與上面提到的隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系沒(méi)有區(qū)別。因此，在理論方法上，目前文中的方法可以歸類到CR－UL法。但由于本文重點(diǎn)不在于詳細(xì)介紹這種方法的理論體系，所以論述中均不再使用該名詞。本文的目的主要是通過(guò)簡(jiǎn)化復(fù)雜的幾何非線性分析方法，推廣該方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用。
二、非線性商限元求解過(guò)程
對(duì)于工程結(jié)構(gòu)的非線性問(wèn)題，用有限元方法求解時(shí)的非線性平衡方程可寫(xiě)成以下的一般形式：
Fs(δ）-P0（δ）=0 （l）
其中，為節(jié)點(diǎn)的位移向量；Fs(δ)為結(jié)構(gòu)的等效節(jié)點(diǎn)抗力向量，它隨節(jié)點(diǎn)位移及單元內(nèi)力而變化；PO（δ）為外荷載作用的等效節(jié)點(diǎn)荷載向量，為方便起見(jiàn)，這里暫時(shí)假定它不隨節(jié)點(diǎn)位移而變化。
由于式（l）中的等效節(jié)點(diǎn)抗力一般無(wú)法用節(jié)點(diǎn)位移顯式表示，故不可能直接對(duì)非線性平衡方程進(jìn)行求解。但實(shí)際結(jié)構(gòu)的整體切向剛度容易得到，所以通常應(yīng)用Newton-Raphson迭代方法求解該問(wèn)題。結(jié)構(gòu)的整體切向剛度矩陣KT可表示如下
dPO＝ KTdδ （2）
式中，KT＝ KE十KG，其中KE為結(jié)構(gòu)的整體彈性剛度矩陣，KG為幾何剛度矩陣。
用混合Newton－Raphson迭代方法求解結(jié)構(gòu)非線性問(wèn)題的基本過(guò)程如下：
(1）將等效節(jié)點(diǎn)荷載PO分成n步，ΔP0＝PO／n，計(jì)算并組集結(jié)構(gòu)的整體切向剛度矩陣，進(jìn)入加載步循環(huán)；
(2)求解節(jié)點(diǎn)位移增量；
(3)計(jì)算各單元內(nèi)力增量，修正單元內(nèi)力；
(4)更新節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算節(jié)點(diǎn)不平衡力R；
(5)判斷節(jié)點(diǎn)不平衡力R是否小于允許值，如滿足條件，則進(jìn)入下一個(gè)加載步；如不滿足條件，重新計(jì)算結(jié)構(gòu)的整體切向剛度矩陣，用R代替ΔP0，回到第2步；
(6）全部加載步完成之后，結(jié)束。
從上述求解過(guò)程中可見(jiàn)，最為關(guān)鍵的一步是第3步，即由節(jié)點(diǎn)位移增量計(jì)算單元的內(nèi)力增量。也可以說(shuō)是由這一步?jīng)Q定了最終的收斂結(jié)果，以下將對(duì)此著重論述。其實(shí)結(jié)構(gòu)的整體切向剛度矩陣對(duì)結(jié)果并無(wú)實(shí)質(zhì)性的影響，修正的NetwRaphson方法正是利用這一點(diǎn)來(lái)節(jié)省迭代計(jì)算的時(shí)間。
以前的文獻(xiàn)對(duì)空間梁?jiǎn)卧獛缀蝿偠染仃嚨耐茖?dǎo)方面論述較多，都建立在一些假定的基礎(chǔ)上，這里就不詳細(xì)說(shuō)明。考慮到結(jié)構(gòu)的整體切向剛度矩陣精確與否并不改變最終結(jié)果，僅影響迭代收斂的速度，并且不是越精確的整體切向剛度矩陣迭代收斂越快。
三、小應(yīng)變時(shí)單元內(nèi)力增百計(jì)算
在一般情況下，工程結(jié)構(gòu)的幾何非線性都屬于小應(yīng)變大位移（大平移、大轉(zhuǎn)動(dòng)）問(wèn)題。對(duì)于這類問(wèn)題，單元內(nèi)力增量的計(jì)算比較簡(jiǎn)單。平面梁?jiǎn)卧强臻g梁?jiǎn)卧l(fā)展的基礎(chǔ)，故這里先分析平面梁?jiǎn)卧那闆r。
平面梁?jiǎn)卧谡w坐標(biāo)系（OXY）下從t到t十Δt時(shí)刻的變形情況。定義隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（oxy）的原點(diǎn)固定在單元的一端（i端），x軸始終保持沿i→j的直線方向。可見(jiàn)，在隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中平面梁?jiǎn)卧淖杂啥葴p少為三個(gè)（uxθiθj）。
從隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的三個(gè)自由度可以看出，它們反映的是單元的真實(shí)變形情況，與單元所經(jīng)歷的剛性位移無(wú)關(guān)。在用有限元方法求解非線性問(wèn)題時(shí)，只要將單元尺寸劃分得適當(dāng)小，整體坐標(biāo)系下的小應(yīng)變大位移問(wèn)題在單元隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中就轉(zhuǎn)化為小應(yīng)變小位移問(wèn)題，這一點(diǎn)可從非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)給出證明。這樣，隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的受力變形情況就可近似地接線性處理，單元內(nèi)力增量的計(jì)算也就與線性情況一樣，這里不再贅述。同時(shí)也正說(shuō)明了工程中常用拖動(dòng)坐標(biāo)法計(jì)算平面結(jié)構(gòu)大變形問(wèn)題的正確性。
四、算例分析
結(jié)合以上論述，編制了相應(yīng)的非線性有限元計(jì)算程序。為驗(yàn)證本文方法和有限元程序，下面首先分析了45度彎梁空間彎扭大位移問(wèn)題。大跨度懸索橋在施工階段的幾何非線性比較明顯，因此，必須準(zhǔn)確地考慮，否則計(jì)算結(jié)果可能不正確。作為實(shí)橋算例，對(duì)江陰長(zhǎng)江大橋在
lang=EN-US>20％拼裝率施工階段的幾何非線性問(wèn)題進(jìn)行了分析，并與Ansys程序的計(jì)算結(jié)果相比較。
1．45度彎梁空間彎扭六位移分析
本例是ADINA中的45度彎梁大位移分析考題。該梁位于X一y平面內(nèi)，梁根固定，在自由端沿Z方向受一個(gè)集中荷載的作用，梁因此發(fā)生空間彎扭大變形。分析時(shí)將梁劃分為8個(gè)單元，每步加載量為10.0。分別用ADINA，AnsyS和本文程序計(jì)算了60個(gè)加載步，各計(jì)算結(jié)果均基本上一致。梁自由端無(wú)量綱位置坐標(biāo)在初始時(shí)刻，加載30步與加載60步時(shí)的比較列于表1，可見(jiàn)三者相互較吻合。為了進(jìn)行對(duì)比，都沒(méi)有考慮剪切影響。為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，這里不指定專門的量綱單位。
2．江陰長(zhǎng)江大橋非線性分析
江陰長(zhǎng)江大橋是我國(guó)目前建成的最大跨度懸索橋。主跨跨度為1385m。主梁為寬36.9m，高3.0m的扁平狀閉口鋼箱梁。主纜相距32.5米，吊桿間距為1.6m，矢跨比為 l／10.5。橋塔為門式框架結(jié)構(gòu)，南北橋塔高分別為187m和184m。橋面波置為R＝27710m的豎曲線。
根據(jù)設(shè)計(jì)資料，建立了江陰長(zhǎng)江大橋的計(jì)算模型。在成橋狀態(tài)下，單根主纜的水平內(nèi)力約為23878t，單根吊桿的內(nèi)力約為144t，考慮到懸索橋在施工時(shí)主纜與塔頂有相對(duì)位移，計(jì)算模型中主纜與塔頂在順橋向可自由移動(dòng)，而其他方向均耦聯(lián)。
懸索橋施工過(guò)程中分段安裝主梁，小拼裝率時(shí)各主梁段之間相互餃接。由于懸索橋在成橋狀態(tài)的位置和內(nèi)力一般為已知，施工狀態(tài)均從成橋狀態(tài)通過(guò)拆除梁段的方法確定。江陰長(zhǎng)江大橋在成橋狀態(tài)拆除兩端梁段后，但未發(fā)生變形之前20％拼裝率的初始狀態(tài)。由于該初始狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)位置和單元內(nèi)力均為己知，用以上的非線性有限元程序可得出20％拼裝率變形后的施工平衡狀態(tài)。在變形后的施工平衡狀態(tài)下，跨中梁段隨主纜發(fā)生了較大的燒曲，主跨兩端的主纜形狀比成橋狀態(tài)時(shí)變化較明顯。跨中豎向向下的位移為2.595m，塔頂處的主纜發(fā)生向外0.669m的位移。為驗(yàn)證該程序的計(jì)算結(jié)果，對(duì)上述同樣的工況用AnsyS程序進(jìn)行了分析。計(jì)算結(jié)果中跨中向下的位移為2.581m，塔頂處主纜向外的位移0.664m。從本文方法的變形和內(nèi)力結(jié)果與Ansys程序計(jì)算結(jié)果的比較發(fā)現(xiàn)，兩者均較吻合，這就驗(yàn)證了本文方法和非線性有限元程序的可靠性和有效性。
五、結(jié)語(yǔ)
以上從簡(jiǎn)單實(shí)用的角度論述了空間杯系結(jié)構(gòu)的幾何非線性分析理論。通過(guò)對(duì)有限元求解幾何非線性問(wèn)題過(guò)程的分析，特別強(qiáng)調(diào)了用選代方法求解杯系結(jié)構(gòu)幾何非線性問(wèn)題中的關(guān)鍵問(wèn)題，即由節(jié)點(diǎn)的位移增量計(jì)算單元內(nèi)力增量的重要性。在引人隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系之后，論述了小應(yīng)變問(wèn)題中單元內(nèi)力增量的計(jì)算。從論述中可知，隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的受力變形情況可近似地接線性處理，單元內(nèi)力增量的計(jì)算也與線性情況一樣，同時(shí)也說(shuō)明了工程中常用拖動(dòng)坐標(biāo)法計(jì)算大跨度橋梁結(jié)構(gòu)大變形問(wèn)題的正確性。
對(duì)空間桿系結(jié)構(gòu)用數(shù)值算例對(duì)本文方法進(jìn)行了驗(yàn)證。為保證分析結(jié)果的正確性，用多個(gè)程序進(jìn)行相互校核。
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對(duì)江陰長(zhǎng)江大橋在20％拼裝率施工階段的幾何非線性問(wèn)題進(jìn)行了分析，分析結(jié)果與
AnsyS程序的計(jì)算結(jié)果吻合。從分析中可見(jiàn)，在小拼裝率施工階段，懸索橋跨中梁段隨主纜
發(fā)生了較大的撓曲，主跨兩端的主纜形狀比成橋狀態(tài)時(shí)變化比較明顯。
